Jak rozwiązać układ równań za pomocą macierzy?
Jak rozwiązać układ równań za pomocą macierzy? Poradnik dla licealistów
Często, kiedy rozwiązujemy układy równań z wieloma niewiadomymi musimy mierzyć się z dużą ilością żmudnych obliczeń. Gdy równań robi się naprawdę dużo, potrzebna będzie nawet kilka kartek w zeszycie na rozwiązanie takiego układu równań. Czy da się jakoś zoptymalizować tę procedurę lub w pewien sposób stabelaryzować? Tak, odpowiedzią na powyższe pytanie są macierze.
Przygotowaliśmy dla Ciebie także materiał wideo!
Mamy dany przykładowy układ równań dwóch zmiennych x i y:
Współczynniki naszego równania możemy stabelaryzować w postaci macierzy (tabeli liczb):
Każda macierz, tak jak tabela posiada kolumny (pionowe rzędy) i wiersze (poziome rzędy).
W powyższej macierzy oddzieliliśmy ostatnią kolumnę pionową kreską, żeby lepiej widoczne było to, po której stronie równania stoi dany współczynnik.
No dobrze, ale w jaki sposób nasza macierz ma nam pomóc rozwiązać układ równań?
Aby rozwiązać nasze równania musimy przekształcić macierz na postać schodkową zredukowaną. Co to oznacza? Oznacza to, że przed kreską nasza macierz musi być macierzą jednostkową, czyli mieć jedynki na głównej przekątnej( tej od lewej do prawej) i zera na drugiej przekątnej. Za kreską, przy pomocy przekształceń elementarnych otrzymamy wtedy liczby, które będą rozwiązaniem układu równań.
Operacje, które możemy wykonać to:
- Mnożenie wierszy razy liczbę
- Dodawanie wierszy do siebie
- Zamiana wierszy miejscami
Przeprowadzamy następujące operacje na naszej macierzy:
1.Na początek mnożymy pierwszy wiersz razy 5, symboliczny zapis tej operacji to:
2. Pierwszy krok wykonaliśmy po to, aby teraz odjąć pierwszy wiersz od drugiego i w lewym dolnym rogu otrzymać 0.
3.Następnym krokiem będzie wymnożenie drugiego wiersza, tak aby po dodaniu go do pierwszego otrzymać zero w pierwszym wierszu, drugiej kolumnie.
4.Teraz od wiersza pierwszego odejmujemy drugi
5. Na koniec dzielimy odpowiednie wiersze tak, aby uzyskać jedynki na przekątnej w części macierzy z lewej strony kreski
6. Nasze obliczone niewiadome – uzyskujemy z prawej strony macierzy.
Czy artykuł dotyczący rozwiązywania układu równań jest dla Ciebie wartościowy? Daj koniecznie znać w komentarzu!
Gdybyście mieli do tej treści pytania, albo chcieli poznać więcej szczegółów to piszcie do nas na adres: elementum.edu@gmail.com
Na koniec pamiętaj o tym…
- aby być na bieżąco z naukową wiedzą śledź nasz fanpage FB.
- że jeśli zainteresował Cię temat i chciałbyś dowiedzieć się więcej lub przygotować się do matury z matematyki to zapraszamy do umówienia się na lekcję z matematyki(korepetycje matematyka) do naszego eksperta!
Autor: Kacper Kopycki, ELEMENTUM
