Jak działają komputery… czyli metody numeryczne w pigułce

Czy zastanawiałeś się kiedyś w jaki sposób komputer wykonuje skomplikowane działania obliczania złożonych całek, czy pochodnych. Przecież ich definicja i teoria z nimi związana jest na tyle abstrakcyjna, że zwykły komputer nie byłby w stanie jej pojąć. Abstrakcyjne myślenie nie jest zdecydowanie mocną stroną współczesnych układów mikroprocesorowych, co w sumie tłumaczy fakt, dlaczego nie wyparły one człowieka w zawodach wymagających mocno niekonwencjonalnego i wielowymiarowego rozumowania.

Metody te są obecnie licznie stosowane zarówno w informatyce i algorytmice. Bez metod numerycznych rozwiązywanie skomplikowanych równań za pomocą konwencjonalnych komputerów byłoby zadaniem karkołomnym lub nawet niewykonalnym.

Prześledźmy sposób obliczania przybliżonej wartości całki metodą prostokątów, czyli sprawdźmy jak działają komputery

Z definicji całki oznaczonej jest ona wartością pola pod wykresem funkcji. Liczymy zatem to pole sumując pola prostokątów znajdujących się pod krzywą. Oczywiście błąd takiej metody będzie bezpośrednio zależał od ilości użytych prostokątów.

Wzór wygląda następująco:

h jest długością jednego podprzedziału:

współczynnik α odpowiada za to, czy w danym punkcie wybierzemy wartość funkcji dla lewego podprzedziału, czy dla prawego, a może wartość średnią.

Policzmy przybliżoną wartość całki z sinusa w przedziale od zera do 2π.

Z definicji całki Riemanna wiemy, że będzie to 0, ponieważ pole dodatnie pod wykresem funkcji sinusa zrówna się z polem ujemnym. Policzmy dla pewności wartość całki analitycznie:

Sprawdźmy czy metoda prostokątów da podobny wynik:

Tak będzie wyglądało obliczenie wartości całki dla 10 podprzedziałów:

Teraz musimy wyznaczyć wartości funkcji sinus dla odpowiednich granic podprzedziałów i tutaj jak już pisałem mamy wybór, albo startujemy od lewej granicy całki i wyznaczamy 10 wartości co lub od prawej. Trzecią i najdokładniejszą opcją jest wariant średnich prostokątów, w którym liczymy wartość średnią z dwóch granic podprzedziałów. My zastosujemy wariant lewych prostokątów:

Następnie liczymy sumę otrzymanych pól prostokątów:

Jak widać już przy 10 prostokątach błąd obliczenia wartości całki jest na tyle mały, że możemy go pominąć. Oczywiście metoda prostokątów jako najprostsza obliczeniowo nie daje najlepszych rezultatów jeśli chodzi o dokładność obliczeń przez co ustępuje bardziej skomplikowanym obliczeniowo metodom.

Są to przykładowo metody:

• • trapezów,
  • parabol
  • Gaussa

Dodatkowym plusem metod numerycznych jest oczywiście to, że możemy decydować o jakości przybliżenia, którego dokładność zwiększa się wraz z ilością iteracji i często dąży do wartości dokładnej.

Podsumowanie metod numerycznych – jak działają komputery

Na przykładzie metody kwadratów widzimy, że na im więcej podprzedziałów podzielimy naszą funkcję, tym większą dokładność przybliżenia otrzymamy. Taka zasada w wielu równaniach numerycznych działa jednak do pewnego poziomu powyżej, którego błąd znowu zaczyna rosnąć, bądź staje się nieprzewidywalny. Dlatego kluczem do sprawnego i efektywnego wykorzystania metod numerycznych jest znalezienie złotego środka oraz jak największa optymalizacja algorytmu postępowania.

Drodzy czytelnicy!

• Napiszcie w komentarzu, czy temat metod numerycznych – jak działają komputery jest dla Was ciekawy!
• Gdybyście mieli do tej treści pytania, albo chcieli poznać więcej szczegółów o zastosowaniach metod numerycznych to piszcie do nas na adres: elementum.edu@gmail.com
• A tym czasem ELEMENTUM życzy Wam udanego dnia!! I dużo fascynacji z odkrywania matematyki 🙂

Na koniec pamiętaj o tym…

• aby być na bieżąco z naukową wiedzą śledź nasz fanpage FB.
• że jeśli zainteresował Cię temat i chciałbyś dowiedzieć się więcej lub przygotować się do matury z matematyki to zapraszamy do umówienia się na lekcję z matematyki(korepetycje matematyka) do naszego eksperta!

Autor: Kacper Kopycki, ELEMENTUM